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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
c) f(x)=xln⁡xf(x)=x \ln x

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es (0,+∞)(0, +\infty)

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=1⋅ln⁡(x)+x⋅1x=ln⁡(x)+1 f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

ln⁡(x)+1=0 \ln(x) + 1 = 0

ln⁡(x)=−1 \ln(x) = -1

Aplico ee en ambos miembros:

eln⁡(x)=e−1e^{\ln(x)} = e^{-1}

x=e−1=1e x = e^{-1} = \frac{1}{e}

Por lo tanto, en x= 1ex = \frac{1}{e} tenemos un punto crítico.

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (0,1e) (0, \frac{1}{e})
b) (1e,+∞) (\frac{1}{e}, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En  (0,1e) ⇒f′(x)<0→ (0, \frac{1}{e}) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente
En  (1e,+∞) ⇒f′(x)>0→ (\frac{1}{e}, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

Entonces, recapitulando:

Intervalo de crecimiento: (1e,+∞)(\frac{1}{e}, +\infty)

Intervalo de decrecimiento: (0,1e)(0, \frac{1}{e})
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Benjamin
20 de mayo 17:12
Como pongo el 1/e en la calculadora? Porque cuando lo pongo de da Syntax Error, y si pongo 1/2,718 (que es aproximadamente e) me da positivo
0 Responder
Flor
PROFE
20 de mayo 17:55
@Benjamin
Fijate que en la calcu tenés que tener una opción que dice "alpha" (al lado de "shift"). Si apretas alpha + la tecla "ln" (que arriba en rosa dice ee), vas a ver que te aparece el número ee. Entonces pones 1 / (alpha + ln) y ahi te debería calcular 1/e

Aclaro por las dudas: Cuando queres poner ee elevado a algo, ahi apretas shift, te aparece ee y directamente ponés el exponente al lado... El alpha es cuando querés poner simplemente ee
0 Responder
Benjamin
20 de mayo 18:21
ahh mira, no sabia esa jaja, nunca me lo habian dicho! muchas gracias
0 Responder